Hitung Logaritma: Penjelasan Lengkap & Mudah

Hai, guys! Pernah nggak sih kalian ketemu soal matematika yang bikin kepala pusing tujuh keliling, apalagi kalau udah urusannya sama logaritma? Tenang, kalian nggak sendirian! Hari ini kita bakal bedah tuntas soal logaritma yang sering bikin bingung itu, biar kalian semua jadi jagoan.

Kita akan fokus pada dua contoh soal yang lumayan menantang tapi kalau udah paham konsepnya, dijamin gampang banget. Soal-soal ini bakal menguji pemahaman kalian tentang sifat-sifat logaritma. Yuk, kita langsung aja sikat habis!

Memahami Konsep Dasar Logaritma

Sebelum kita terjun ke soal-soal yang lebih rumit, penting banget buat kita nginget lagi apa sih logaritma itu. Gampangnya, logaritma itu kebalikan dari eksponen (perpangkatan). Jadi, kalau kita punya $a^b = c$, maka dalam bentuk logaritma itu jadi $^a ext{log } c = b$. Keren, kan?

Ada beberapa sifat logaritma yang wajib banget kita kuasai, guys. Sifat-sifat ini adalah kunci buat ngebuka semua soal logaritma, termasuk yang bakal kita bahas nanti. Yuk, kita review sebentar:

• Sifat Penjumlahan: $^a ext{log } x + ^a ext{log } y = ^a ext{log } (x imes y)$. Jadi, kalau basisnya sama, angka di belakang log-nya tinggal dikaliin aja.
• Sifat Pengurangan: $^a ext{log } x - ^a ext{log } y = ^a ext{log } (x / y)$. Kalau dikurang, angka di belakang log-nya dibagi.
• Sifat Perkalian Pangkat: $^a ext{log } x^n = n imes ^a ext{log } x$. Pangkat di belakang log bisa pindah ke depan jadi pengali.
• Sifat Perubahan Basis: ^a ext{log } b = rac{^c ext{log } b}{^c ext{log } a}. Ini berguna banget kalau basis logaritma yang kita punya beda-beda.
• Logaritma Angka 1: $^a ext{log } 1 = 0$. Mau basisnya apa aja, kalau angka di belakang log-nya 1, hasilnya pasti 0. Ini penting banget, guys!
• Logaritma dengan Basis Sama: $^a ext{log } a = 1$. Kalau angka di belakang log sama dengan basisnya, hasilnya pasti 1.

Nah, dengan modal sifat-sifat ini, kita siap buat ngerjain soal-soal yang ada. Jangan lupa, kunci utama dalam mengerjakan soal logaritma itu adalah identifikasi sifat yang paling cocok untuk digunakan. Seringkali, satu soal bisa dikerjakan dengan beberapa cara, tapi biasanya ada satu cara yang paling efisien.

Ingat juga ya, guys, kalau ada logaritma yang nggak ditulis basisnya, itu artinya basisnya adalah 10. Jadi, $ ext{log } x$ itu sama dengan $^{10} ext{log } x$. Makanya sering disebut logaritma natural atau logaritma umum. Kalau ada simbol 'ln', itu artinya logaritma natural dengan basis $e$ (bilangan Euler, sekitar 2.718). Jadi, $ ext{ln } x$ itu sama dengan $^e ext{log } x$. Pemahaman ini krusial banget supaya nggak salah interpretasi saat mengerjakan soal.

Selain itu, dalam logaritma, basisnya harus positif dan tidak sama dengan 1 ($a > 0, a eq 1$), dan angka di belakang logaritma (numerus) juga harus positif ($x > 0$). Ini adalah syarat mutlak agar nilai logaritma terdefinisi. Kalau syarat ini nggak terpenuhi, maka soalnya nggak punya solusi atau hasil yang valid. Jadi, sebelum mulai menghitung, sekilas cek dulu apakah syarat-syarat ini terpenuhi. Kalau misalnya ada variabel di dalamnya, kita perlu cari dulu rentang nilai variabel tersebut agar logaritma terdefinisi. Ini kadang jadi jebakan soal yang perlu diwaspadai, terutama dalam soal-soal olimpiade atau ujian tingkat lanjut.

Dengan pemahaman yang solid tentang sifat-sifat dasar dan syarat-syarat logaritma, kita sudah punya fondasi yang kuat untuk menyelesaikan berbagai macam soal. Sekarang, mari kita aplikasikan pengetahuan ini pada contoh soal yang diberikan.

Soal a): Menghitung 4 Log 36 + 4 Log 9 + 4 Log 1

Oke, guys, kita mulai dari soal pertama: 4 Log 36 + 4 Log 9 + 4 Log 1. Lihat deh, semua logaritma di soal ini punya basis yang sama, yaitu 4. Ini pertanda bagus, karena kita bisa pakai sifat penjumlahan logaritma.

Ingat lagi sifat penjumlahan: $^a ext{log } x + ^a ext{log } y = ^a ext{log } (x imes y)$. Karena di soal kita ada tiga suku yang dijumlahkan dengan basis yang sama, kita bisa gabungin jadi satu logaritma besar. Jadi, soal ini bisa kita tulis ulang menjadi:

$${}^4 ext{log } (36 imes 9 imes 1)$$

Sekarang, tugas kita tinggal menghitung hasil perkalian di dalam kurung itu: $36 imes 9 imes 1$.

• $36 imes 9 = 324$
• $324 imes 1 = 324$

Jadi, bentuk logaritma kita sekarang adalah: ${}^4 ext{log } 324$

Nah, sampai di sini, kita perlu mikir lagi. Apakah 324 itu bisa kita dapatkan dari 4 dipangkatkan sesuatu? Sepertinya tidak langsung ya. Tapi, kita lihat lagi soal aslinya. Ada suku $^4 ext{log } 1$. Ingat sifat logaritma yang paling gampang sedunia? Yaitu, $^a ext{log } 1 = 0$. Ini artinya, suku $^4 ext{log } 1$ itu nilainya adalah nol. Jadi, kita bisa menyederhanakan soal awal kita:

$${}^4 ext{Log } 36 + {}^4 ext{Log } 9 + {}^4 ext{Log } 1 = {}^4 ext{Log } 36 + {}^4 ext{Log } 9 + 0$$

Sekarang kita fokus ke ${}^4 ext{Log } 36 + {}^4 ext{Log } 9$. Kita gunakan sifat penjumlahan logaritma lagi:

$${}^4 ext{log } (36 imes 9)$$

$${}^4 ext{log } 324$$

Masih sama ya hasilnya. Coba kita perhatikan lagi angka 36 dan 9. Apakah ada hubungan mereka dengan basis 4? Hmm, sepertinya tidak langsung. Tapi, mungkin ada cara lain untuk menyederhanakan 36 dan 9 itu sendiri?

Kita tahu $36 = 6^2$ dan $9 = 3^2$. Basisnya adalah 4. Basis 4 ini bisa ditulis sebagai $2^2$.

Yuk, coba kita pecah soalnya dari awal dengan pendekatan yang berbeda, guys. Kadang, mengubah angka-angka di dalamnya bisa membantu.

Kita punya $^4 ext{log } 36$, $^4 ext{log } 9$, dan $^4 ext{log } 1$.

Ingat ya, $^4 ext{log } 1 = 0$. Jadi, soalnya jadi $^4 ext{log } 36 + {}^4 ext{log } 9$.

Sekarang, kita coba ubah angka 36 dan 9 menjadi bentuk yang ada hubungannya dengan basis 4. Basis 4 itu sama dengan $2^2$.

• $36 = 4 imes 9$. Ini nggak terlalu membantu kalau mau dipecah jadi basis 4.
• $36 = 6^2$. $^4 ext{log } 6^2 = 2 imes {}^4 ext{log } 6$.
• $9 = 3^2$. $^4 ext{log } 3^2 = 2 imes {}^4 ext{log } 3$.

Ini juga kayaknya nggak langsung mengarah ke jawaban yang bulat. Coba kita lihat lagi, apakah 36 dan 9 bisa dipecah menjadi faktor-faktor yang punya hubungan dengan basis 4? Atau, kita bisa gunakan sifat perubahan basis? Tapi itu kayaknya terlalu rumit kalau basisnya udah sama.

Mari kita kembali ke $^4 ext{log } 324$. Apakah 324 itu punya faktor yang merupakan pangkat dari 4? $4^1=4$, $4^2=16$, $4^3=64$, $4^4=256$, $4^5=1024$. Hmm, tidak.

Wait! Ada yang terlewat. Perhatikan lagi soalnya: 4 Log 36 + 4 Log 9.4 Log 1. Tanda titik di antara '9' dan '4' itu kemungkinan besar maksudnya adalah perkalian, bukan penulisan angka 94. Jadi, soalnya seharusnya:

$${}^4 ext{Log } 36 + {}^4 ext{Log } 9 imes {}^4 ext{Log } 1$$

Kalau seperti ini, cara mengerjakannya jadi beda banget. Kita perlu hitung $^4 ext{Log } 1$ dulu, yang hasilnya adalah 0. Lalu, kita kalikan dengan $^4 ext{Log } 9$. Apa pun yang dikalikan dengan 0 hasilnya adalah 0.

$${}^4 ext{Log } 36 + ({}^4 ext{Log } 9 imes 0)$$

$${}^4 ext{Log } 36 + 0$$

$${}^4 ext{Log } 36$$

Nah, sekarang kita perlu menghitung $^4 ext{Log } 36$. Apakah 36 bisa ditulis sebagai 4 pangkat sesuatu? Tidak. Tapi, kita bisa coba ubah basisnya. Misalnya ke basis 2, karena $4 = 2^2$.

Menggunakan sifat perubahan basis ^a ext{log } b = rac{^c ext{log } b}{^c ext{log } a}, kita bisa ubah $^4 ext{log } 36$ menjadi basis 2:

{}^4 ext{log } 36 = rac{{}^2 ext{log } 36}{{}^2 ext{log } 4}

Kita tahu ${}^2 ext{log } 4 = 2$ (karena $2^2 = 4$).

Jadi, ${}^4 ext{log } 36 = rac{{}^2 ext{log } 36}{2}$

Sekarang kita perlu menghitung ${}^2 ext{log } 36$. $36 = 6^2 = (2 imes 3)^2 = 2^2 imes 3^2$. Jadi:

$${}^2 ext{log } 36 = {}^2 ext{log } (2^2 imes 3^2)$$

Menggunakan sifat penjumlahan logaritma:

$${}^2 ext{log } (2^2 imes 3^2) = {}^2 ext{log } 2^2 + {}^2 ext{log } 3^2$$

Menggunakan sifat perkalian pangkat:

$${}^2 ext{log } 2^2 = 2 imes {}^2 ext{log } 2 = 2 imes 1 = 2$$

$${}^2 ext{log } 3^2 = 2 imes {}^2 ext{log } 3$$

Jadi, ${}^2 ext{log } 36 = 2 + 2 imes {}^2 ext{log } 3$. Ini masih ada bentuk ${}^2 ext{log } 3$ yang nilainya bukan bilangan bulat.

Kesimpulan Penting: Kemungkinan besar, penulisan soal