Persamaan Parabola: Fokus & Direktriks

Oct 9, 2025 by ADMIN 39 views

Halo, para pencari ilmu matematika! Kali ini kita bakal ngobrolin soal parabola, salah satu topik keren di geometri analitik. Kita akan bahas tuntas gimana caranya nemuin persamaan parabola kalau kita dikasih tahu fokusnya dan persamaan direktriksnya, plus nanti kita bakal coba gambarin sketsa grafiknya biar makin kebayang. Siap? Yuk, kita mulai petualangan kita di dunia parabola!

Membongkar Misteri Parabola: Definisi dan Elemen Kunci

Jadi, guys, apa sih parabola itu sebenarnya? Kalau ngomongin definisi matematisnya, parabola itu adalah kumpulan semua titik yang punya jarak yang sama ke satu titik tetap (yang kita sebut fokus) dan satu garis lurus tetap (yang kita sebut direktriks). Nah, jarak yang sama ini penting banget, jadi inget-inget ya!

Di dunia parabola, ada beberapa elemen penting yang perlu kita kenalin. Selain fokus (F) dan direktriks, ada juga titik puncak (V). Titik puncak ini adalah titik tengah antara fokus dan direktriks, dan dia juga merupakan titik terdekat dari parabola ke direktriks. Posisi titik puncak ini krusial banget buat nentuin bentuk dan letak parabola kita. Terus, ada juga sumbu simetri, yaitu garis yang tegak lurus dengan direktriks dan melewati fokus. Sumbu simetri ini kayak cermin buat parabola kita, membagi parabola jadi dua bagian yang sama persis.

Memahami elemen-elemen ini kayak kita lagi ngumpulin puzzle pieces. Kalau semua pieces-nya udah kita punya, nanti jadi gampang banget buat nyusun gambaran utuh si parabola.

Jenis-Jenis Parabola: Berdiri atau Miring?

Parabola itu nggak cuma satu jenis, lho. Dia bisa punya berbagai orientasi tergantung letak fokus dan direktriksnya. Tapi, untuk pembahasan kita kali ini, kita akan fokus pada dua jenis utama parabola yang sumbu simetrinya sejajar dengan sumbu koordinat:

Parabola dengan Sumbu Simetri Horizontal: Ini parabola yang kebuka ke kanan atau ke kiri. Fokusnya ada di (h+p, k) dan direktriksnya adalah x = h - p, atau fokusnya di (h-p, k) dengan direktriks x = h + p. Persamaan umumnya kayak gini nih: $(y-k)^2 = 4p(x-h)$ .
Parabola dengan Sumbu Simetri Vertikal: Ini parabola yang kebuka ke atas atau ke bawah. Fokusnya ada di (h, k+p) dan direktriksnya y = k - p, atau fokusnya di (h, k-p) dengan direktriks y = k + p. Persamaan umumnya adalah: $(x-h)^2 = 4p(y-k)$ .

Dalam kedua persamaan ini, (h, k) adalah koordinat titik puncak, dan p adalah jarak dari titik puncak ke fokus (sekaligus jarak dari titik puncak ke direktriks). Tanda dari p ini penting: kalau positif, parabola kebuka ke kanan (untuk sumbu horizontal) atau ke atas (untuk sumbu vertikal); kalau negatif, parabola kebuka ke kiri atau ke bawah.

Menemukan Persamaan Parabola: Rumus Jitu!

Nah, ini bagian serunya, guys! Gimana caranya kita nemuin persamaan parabola kalau kita udah punya informasi fokus dan direktriks? Ada dua cara utama yang bisa kita pakai:

Cara 1: Menggunakan Definisi Parabola (Jarak Sama)

Ingat definisi awal tadi? Jarak titik P(x, y) di parabola ke fokus F sama dengan jarak titik P(x, y) ke garis direktriks. Kita bisa pakai rumus jarak antara dua titik dan rumus jarak titik ke garis untuk menurunkannya. Mari kita ambil contoh soal a. fokus di F(2, 0), persamaan direktriksnya x + 2 = 0.

Identifikasi Elemen:
- Fokus F = (2, 0)
- Direktriks: x + 2 = 0, atau bisa kita tulis sebagai x = -2.
Titik Puncak (V): Titik puncak terletak di tengah-tengah antara fokus dan direktriks. Karena fokusnya (2, 0) dan direktriksnya x = -2, sumbu simetrinya pasti horizontal (y-nya sama dengan koordinat y fokus, yaitu 0). Titik tengahnya adalah ((2 + (-2))/2, 0) = (0, 0). Jadi, titik puncaknya V = (0, 0). Dengan kata lain, h=0 dan k=0.
Nilai p: Jarak dari titik puncak (0, 0) ke fokus (2, 0) adalah 2. Jadi, p = 2. Karena fokusnya di sebelah kanan titik puncak, p bernilai positif.
Jenis Parabola: Karena sumbu simetrinya horizontal dan kebuka ke kanan (fokus di kanan direktriks), kita pakai rumus $(y-k)^2 = 4p(x-h)$ .
Masukkan Nilai: Ganti h=0, k=0, dan p=2 ke dalam rumus: $(y-0)^2 = 4(2)(x-0)$ $y^2 = 8x$ Jadi, persamaannya adalah $y^2 = 8x$ .

Cara 2: Menggunakan Rumus Standar Parabola

Cara ini lebih cepat kalau kita udah hafal rumus standar dan bisa langsung identifikasi titik puncak serta nilai p.

Mari kita coba soal b. fokus di F(-3, 0), persamaan direktriksnya x - 3 = 0.

Identifikasi Elemen:
- Fokus F = (-3, 0)
- Direktriks: x - 3 = 0, atau x = 3.
Titik Puncak (V): Titik tengah antara (-3, 0) dan x = 3 adalah ((-3 + 3)/2, 0) = (0, 0). Jadi, V = (0, 0) atau h=0, k=0.
Nilai p: Jarak dari (0, 0) ke (-3, 0) adalah 3. Karena fokusnya di sebelah kiri titik puncak, p bernilai negatif, jadi p = -3.
Jenis Parabola: Sumbu simetri horizontal, kebuka ke kiri. Pakai rumus $(y-k)^2 = 4p(x-h)$ .
Masukkan Nilai: Ganti h=0, k=0, dan p=-3: $(y-0)^2 = 4(-3)(x-0)$ $y^2 = -12x$ Persamaannya adalah $y^2 = -12x$ .

Sekarang, coba kita kerjakan soal c. fokus di F(4, 0), persamaan direktriksnya x + 4 = 0.

Identifikasi Elemen:
- Fokus F = (4, 0)
- Direktriks: x + 4 = 0, atau x = -4.
Titik Puncak (V): Titik tengah antara (4, 0) dan x = -4 adalah ((4 + (-4))/2, 0) = (0, 0). Jadi, V = (0, 0) atau h=0, k=0.
Nilai p: Jarak dari (0, 0) ke (4, 0) adalah 4. Karena fokusnya di sebelah kanan titik puncak, p bernilai positif, jadi p = 4.
Jenis Parabola: Sumbu simetri horizontal, kebuka ke kanan. Pakai rumus $(y-k)^2 = 4p(x-h)$ .
Masukkan Nilai: Ganti h=0, k=0, dan p=4: $(y-0)^2 = 4(4)(x-0)$ $y^2 = 16x$ Persamaannya adalah $y^2 = 16x$ .

Terakhir, kita lihat soal d. fokus di F(-2, 0), persamaan direktriksnya x = 2.

Identifikasi Elemen:
- Fokus F = (-2, 0)
- Direktriks: x = 2.
Titik Puncak (V): Titik tengah antara (-2, 0) dan x = 2 adalah ((-2 + 2)/2, 0) = (0, 0). Jadi, V = (0, 0) atau h=0, k=0.
Nilai p: Jarak dari (0, 0) ke (-2, 0) adalah 2. Karena fokusnya di sebelah kiri titik puncak, p bernilai negatif, jadi p = -2.
Jenis Parabola: Sumbu simetri horizontal, kebuka ke kiri. Pakai rumus $(y-k)^2 = 4p(x-h)$ .
Masukkan Nilai: Ganti h=0, k=0, dan p=-2: $(y-0)^2 = 4(-2)(x-0)$ $y^2 = -8x$ Persamaannya adalah $y^2 = -8x$ .

Keren kan, guys? Dengan ngerti konsepnya, nyari persamaan parabola jadi gampang!

Menggambar Sketsa Grafik Parabola: Visualisasikan Angka!

Sekarang, setelah kita punya persamaannya, saatnya kita kasih 'nyawa' ke angka-angka itu dengan menggambar sketsa grafiknya. Menggambar sketsa itu nggak perlu presisi banget kok, yang penting bentuk dan arahnya bener.

Untuk menggambar sketsa parabola, ada beberapa langkah yang bisa kita ikuti:

Tentukan Titik Puncak (V): Ini adalah titik awal kita. Plot titik puncak di koordinat kartesius.
Tentukan Arah Bukaan Parabola: Lihat dari nilai p atau bentuk persamaannya. Kalau $(y-k)^2 = 4p(x-h)$ $(y - k)^{2} = 4 p (x - h)$ :
- Jika $p > 0$ , parabola kebuka ke kanan.
- Jika $p < 0$ , parabola kebuka ke kiri. Kalau $(x-h)^2 = 4p(y-k)$ :
- Jika $p > 0$ , parabola kebuka ke atas.
- Jika $p < 0$ , parabola kebuka ke bawah.
Gambar Sumbu Simetri: Tarik garis lurus melalui titik puncak sesuai arah sumbu simetri (horizontal atau vertikal).
Tentukan Letak Fokus dan Direktriks: Plot titik fokus dan gambarkan garis direktriks. Pastikan jarak dari puncak ke fokus sama dengan jarak dari puncak ke direktriks.
Beri Beberapa Titik Bantu (Opsional tapi Disarankan): Untuk mendapatkan bentuk yang lebih akurat, kita bisa cari beberapa titik lain yang dilewati parabola. Misalnya, kita bisa substitusi nilai x tertentu (kalau parabola vertikal) atau nilai y tertentu (kalau parabola horizontal) ke dalam persamaan, lalu cari nilai pasangannya.

Yuk, kita coba gambar sketsa untuk contoh-contoh di atas:

a. $y^2 = 8x$

Titik Puncak: V(0, 0)
Arah Bukaan: Karena $4p = 8$ (positif) dan variabel y yang kuadrat, parabola kebuka ke kanan.
Sumbu Simetri: Sumbu x (garis y=0).
Fokus: F(2, 0) (jarak p=2 dari V)
Direktriks: x = -2 (jarak p=2 dari V)

Untuk bantu gambar, coba cari satu titik lagi. Kalau x = 2, maka $y^2 = 8(2) = 16$ , jadi $y = oxed{ ext{+4}}$ . Titik lain adalah (2, 4) dan (2, -4). Gambarnya akan melengkung mulus dari V(0,0) ke kanan, melewati (2,4) dan (2,-4).

b. $y^2 = -12x$

Titik Puncak: V(0, 0)
Arah Bukaan: Karena $4p = -12$ (negatif) dan y kuadrat, parabola kebuka ke kiri.
Sumbu Simetri: Sumbu x (garis y=0).
Fokus: F(-3, 0) (jarak p=-3 dari V)
Direktriks: x = 3 (jarak p=3 dari V)

Titik bantu: Kalau x = -3, maka $y^2 = -12(-3) = 36$ , jadi $y = oxed{ ext{+6}}$ . Titik lain adalah (-3, 6) dan (-3, -6). Gambarnya akan melengkung mulus dari V(0,0) ke kiri, melewati (-3,6) dan (-3,-6).

c. $y^2 = 16x$

Titik Puncak: V(0, 0)
Arah Bukaan: Karena $4p = 16$ (positif) dan y kuadrat, parabola kebuka ke kanan.
Sumbu Simetri: Sumbu x (garis y=0).
Fokus: F(4, 0) (jarak p=4 dari V)
Direktriks: x = -4 (jarak p=4 dari V)

Titik bantu: Kalau x = 4, maka $y^2 = 16(4) = 64$ , jadi $y = oxed{ ext{+8}}$ . Titik lain adalah (4, 8) dan (4, -8). Gambarnya akan melengkung mulus dari V(0,0) ke kanan, melewati (4,8) dan (4,-8).

d. $y^2 = -8x$

Titik Puncak: V(0, 0)
Arah Bukaan: Karena $4p = -8$ (negatif) dan y kuadrat, parabola kebuka ke kiri.
Sumbu Simetri: Sumbu x (garis y=0).
Fokus: F(-2, 0) (jarak p=-2 dari V)
Direktriks: x = 2 (jarak p=2 dari V)

Titik bantu: Kalau x = -2, maka $y^2 = -8(-2) = 16$ , jadi $y = oxed{ ext{+4}}$ . Titik lain adalah (-2, 4) dan (-2, -4). Gambarnya akan melengkung mulus dari V(0,0) ke kiri, melewati (-2,4) dan (-2,-4).

Dengan mengikuti langkah-langkah ini, kalian bisa banget kok menggambar sketsa grafik parabola dengan benar. Kuncinya adalah memahami hubungan antara fokus, direktriks, titik puncak, dan bentuk persamaannya.

Kesimpulan: Parabola Itu Simple Kok!

Jadi gitu deh, guys, pembahasan kita soal menentukan persamaan dan menggambar sketsa grafik parabola berdasarkan fokus dan direktriksnya. Ternyata nggak sesulit yang dibayangkan, kan? Kuncinya ada di pemahaman definisi, elemen-elemen penting kayak titik puncak dan nilai p, serta hafal rumus dasarnya.

Ingat baik-baik:

Parabola adalah himpunan titik yang berjarak sama ke fokus dan direktriks.
Titik puncak adalah pertengahan antara fokus dan direktriks.
Nilai p menentukan jarak dan arah bukaan parabola.

Dengan sering latihan, kalian pasti bakal makin jago deh ngadepin soal-soal parabola. Jangan ragu buat nyoba soal lain yang variatif, ya! Semakin banyak kalian berlatih, semakin terasah kemampuan kalian. Matematika itu seru kalau kita paham konsep dasarnya, dan parabola ini salah satu contohnya. Selamat mencoba dan semoga sukses di setiap petualangan matematika kalian! Sampai jumpa di topik selanjutnya!