Resolviendo Ecuaciones: Guía Paso A Paso Y Conjunto Solución

¡Hola, amigos! Hoy vamos a sumergirnos en el fascinante mundo de las ecuaciones y aprender a resolver una muy específica: $\frac{-2x+3}{3} = \frac{2(x-5)}{5}$. No se preocupen, no es tan complicado como parece. Vamos a desglosarlo paso a paso para que todos puedan entenderlo y, al final, determinaremos el conjunto solución. ¡Manos a la obra!

Entendiendo la Ecuación Lineal

Antes de lanzarnos a resolverla, es importante entender qué es una ecuación lineal. En pocas palabras, es una ecuación que involucra una variable (en este caso, x) elevada a la potencia de 1. Esto significa que no veremos x al cuadrado (x²), al cubo (x³), o cualquier otra potencia. Las ecuaciones lineales son bastante comunes y fundamentales en matemáticas, y dominarlas es clave para avanzar en temas más complejos. La ecuación que tenemos es un ejemplo perfecto de una ecuación lineal. El objetivo principal al resolver una ecuación es encontrar el valor o los valores de la variable que hacen que la ecuación sea verdadera. En otras palabras, buscamos el valor de x que, al sustituirlo en la ecuación original, haga que ambos lados de la igualdad sean iguales. Este valor, o estos valores, forman el conjunto solución. ¡Vamos a descubrir cuál es para nuestra ecuación!

Primeros Pasos: Eliminando Fracciones

La presencia de fracciones puede parecer un poco intimidante al principio, pero ¡no se preocupen! Hay una forma sencilla de deshacernos de ellas. Lo que haremos es multiplicar ambos lados de la ecuación por el mínimo común múltiplo (MCM) de los denominadores. En nuestra ecuación, los denominadores son 3 y 5. El MCM de 3 y 5 es 15 (ya que 3 x 5 = 15). Entonces, multiplicaremos toda la ecuación por 15. Esto se hace para mantener la igualdad; lo que hacemos a un lado, lo hacemos al otro.

Veamos cómo se ve esto:

1. Ecuación original: $\frac{-2x+3}{3} = \frac{2(x-5)}{5}$
2. Multiplicamos por 15: $15 * \frac{-2x+3}{3} = 15 * \frac{2(x-5)}{5}$

Al multiplicar, cancelaremos los denominadores. Para el lado izquierdo, 15 dividido por 3 es 5, y multiplicamos por (-2x + 3). Para el lado derecho, 15 dividido por 5 es 3, y multiplicamos por 2(x - 5). Esto simplifica mucho nuestra ecuación.

Simplificando la Ecuación

Después de multiplicar por 15, nuestra ecuación ahora se ve así:

$5(-2x + 3) = 3 * 2(x - 5)$

Ahora, el siguiente paso es distribuir los números que están fuera de los paréntesis. Esto significa multiplicar cada término dentro del paréntesis por el número que está afuera.

• En el lado izquierdo, multiplicamos 5 por -2x y 5 por 3.
• En el lado derecho, multiplicamos 3 * 2, lo que nos da 6, y luego distribuimos el 6 por x y -5.

Vamos a realizar esas multiplicaciones:

• Lado izquierdo: 5 * -2x = -10x; 5 * 3 = 15. Esto nos da -10x + 15.
• Lado derecho: 3 * 2 = 6; 6 * x = 6x; 6 * -5 = -30. Esto nos da 6x - 30.

Ahora, nuestra ecuación simplificada es:

$-10x + 15 = 6x - 30$

¡Mucho mejor, verdad? Ya no hay fracciones ni paréntesis. Estamos avanzando!

Aislado la Variable (x) y Resolviendo

El objetivo ahora es aislar la variable x en un lado de la ecuación. Para hacer esto, necesitamos mover todos los términos que contienen x a un lado y los términos constantes (los números sin x) al otro lado.

Agrupando los Términos con x

Vamos a mover los términos con x al lado izquierdo. Para hacer esto, restaremos 6x de ambos lados de la ecuación. Esto cancelará el 6x del lado derecho, y lo agregará al lado izquierdo.

$-10x - 6x + 15 = 6x - 6x - 30$

Esto simplifica a:

$-16x + 15 = -30$

Aislado la Constante

Ahora, necesitamos mover la constante (+15) al lado derecho. Para hacer esto, restaremos 15 de ambos lados de la ecuación:

$-16x + 15 - 15 = -30 - 15$

Esto simplifica a:

$-16x = -45$

¡Casi llegamos! Ahora, tenemos la variable x multiplicada por -16. Para aislar x, necesitamos deshacernos de ese -16.

Resolviendo para x

Para deshacernos del -16, dividiremos ambos lados de la ecuación por -16. Esto nos dará el valor de x.

$\frac{-16x}{-16} = \frac{-45}{-16}$

Esto simplifica a:

$x = \frac{45}{16}$

¡Lo hemos logrado! Hemos encontrado el valor de x.

El Conjunto Solución: La Respuesta Final

Ahora que hemos resuelto la ecuación y encontrado el valor de x, podemos determinar el conjunto solución. El conjunto solución es simplemente el conjunto de todos los valores de x que satisfacen la ecuación original. En este caso, solo hay un valor que funciona: $\frac{45}{16}$.

Por lo tanto, el conjunto solución es: $S = \{\frac{45}{16}\}$

¡Felicidades! Hemos resuelto la ecuación y encontrado su conjunto solución. Este proceso se aplica a muchas ecuaciones lineales. La clave es la práctica y recordar cada paso: eliminar fracciones, simplificar, aislar la variable y resolver. ¡Sigan practicando, y se volverán expertos en resolver ecuaciones! Recuerden, la matemática es como cualquier otra habilidad: cuanto más la practiques, mejor serás.

Verificación (Opcional pero Recomendable)

Siempre es una buena idea verificar nuestra solución para asegurarnos de que es correcta. Para hacer esto, sustituiremos el valor de x que encontramos ($\frac{45}{16}$) en la ecuación original y verificaremos si ambos lados de la igualdad son iguales.

Vamos a hacerlo:

1. Ecuación original: $\frac{-2x+3}{3} = \frac{2(x-5)}{5}$

2. Sustituimos x por $\frac{45}{16}$:

   $\frac{-2(\frac{45}{16})+3}{3} = \frac{2(\frac{45}{16}-5)}{5}$

3. Simplificamos cada lado:

   • Lado izquierdo: $\frac{-90/16 + 48/16}{3} = \frac{-42/16}{3} = -42/48 = -7/8$
   • Lado derecho: $\frac{2(45/16 - 80/16)}{5} = \frac{2(-35/16)}{5} = -70/80 = -7/8$

4. Comprobamos: -7/8 = -7/8. ¡La ecuación es verdadera!

Como ambos lados de la ecuación son iguales, nuestra solución es correcta. La verificación nos da confianza en que hemos resuelto la ecuación correctamente. Este paso es muy útil para evitar errores y asegurarnos de que hemos encontrado la respuesta correcta.

Consejos Adicionales y Próximos Pasos

• Practica, practica, practica: La mejor forma de dominar la resolución de ecuaciones es practicando. Resuelve diferentes tipos de ecuaciones lineales para familiarizarte con los pasos y los diferentes escenarios.
• Presta atención a los signos: Los errores de signo son comunes. Asegúrate de manejar correctamente los signos negativos al distribuir y combinar términos.
• Simplifica al máximo: Siempre simplifica las fracciones y los términos para facilitar los cálculos.
• Repasa las operaciones básicas: Asegúrate de estar cómodo con la suma, resta, multiplicación y división de números enteros y fracciones.
• Explora otros tipos de ecuaciones: Una vez que domines las ecuaciones lineales, puedes explorar ecuaciones cuadráticas, exponenciales y logarítmicas.

¡Espero que esta guía les haya sido útil! Recuerden que la práctica constante es clave para dominar la resolución de ecuaciones. ¡No se rindan y sigan explorando el fascinante mundo de las matemáticas!