Rotasi Fungsi: Persamaan Bayangan & Transformasi

Hey guys! Kali ini kita bakal membahas tentang rotasi fungsi, khususnya gimana caranya menentukan persamaan bayangan setelah sebuah fungsi dirotasi. Materi ini penting banget dalam matematika, apalagi kalau kalian tertarik dengan transformasi geometri. Yuk, kita bahas satu per satu!

1. Menentukan Persamaan Bayangan Fungsi Linear Setelah Rotasi 90°

Oke, soal pertama kita adalah mencari persamaan bayangan dari fungsi linear ${f(x) = -\frac{3}{2}x + 12}$ setelah dirotasi 90° terhadap pusat (0,0). Gimana sih caranya? Nah, kita akan pecah ini menjadi beberapa langkah biar lebih mudah dipahami.

Memahami Konsep Rotasi 90°

Sebelum kita masuk ke perhitungannya, penting banget buat kita paham dulu apa itu rotasi 90°. Rotasi 90° artinya kita memutar sebuah objek (dalam hal ini, fungsi) sebesar 90 derajat berlawanan arah jarum jam terhadap titik pusat rotasi (0,0). Dalam transformasi koordinat, rotasi 90° ini punya efek khusus:

• Titik (x, y) akan berubah menjadi (-y, x)

Jadi, setiap titik pada garis ${f(x)}$ akan berpindah posisinya sesuai dengan aturan ini. Ini adalah konsep kunci yang akan kita gunakan.

Menentukan Titik-Titik pada Fungsi Awal

Untuk mempermudah, kita bisa ambil beberapa titik pada fungsi awal ${f(x) = -\frac{3}{2}x + 12}$. Misalnya, kita ambil dua titik yang mudah dihitung:

• Jika x = 0, maka f(0) = -\frac{3}{2}(0) + 12 = 12. Jadi, titiknya adalah (0, 12)
• Jika x = 4, maka f(4) = -\frac{3}{2}(4) + 12 = -6 + 12 = 6. Jadi, titiknya adalah (4, 6)

Kita punya dua titik: (0, 12) dan (4, 6). Sekarang, kita akan rotasikan kedua titik ini.

Merotasikan Titik-Titik

Ingat aturan rotasi 90°: (x, y) menjadi (-y, x). Kita terapkan ini ke titik-titik kita:

• Titik (0, 12) menjadi (-12, 0)
• Titik (4, 6) menjadi (-6, 4)

Sekarang kita punya dua titik baru: (-12, 0) dan (-6, 4). Titik-titik ini adalah bayangan dari titik-titik awal setelah rotasi.

Mencari Persamaan Garis Bayangan

Kita sudah punya dua titik pada garis bayangan. Sekarang, kita bisa mencari persamaan garis yang melalui kedua titik ini. Persamaan garis linear umumnya adalah y = mx + c, di mana m adalah gradien dan c adalah intersep y.

Menghitung Gradien (m)

Gradien (m) dihitung dengan rumus:
${ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} }$

Kita gunakan titik (-12, 0) dan (-6, 4): ${ m = \frac{4 - 0}{-6 - (-12)} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} }$

Jadi, gradien garis bayangan adalah ${\frac{2}{3}}$.

Mencari Intersep y (c)

Kita bisa gunakan salah satu titik dan gradien untuk mencari c. Misalnya, kita gunakan titik (-12, 0): ${ 0 = \frac{2}{3}(-12) + c }$ ${ 0 = -8 + c }$ ${ c = 8 }$

Jadi, intersep y (c) adalah 8.

Persamaan Bayangan

Sekarang kita punya gradien (m) dan intersep y (c), kita bisa tulis persamaan garis bayangan: ${ y = \frac{2}{3}x + 8 }$

Inilah persamaan bayangan dari fungsi linear ${f(x) = -\frac{3}{2}x + 12}$ setelah dirotasi 90° terhadap pusat (0,0). Gampang kan? Yang penting adalah memahami konsep rotasi dan mengikuti langkah-langkahnya dengan teliti.

2. Menentukan Persamaan Bayangan Fungsi Kuadrat Setelah Rotasi 270°

Sekarang, kita lanjut ke soal kedua: menentukan persamaan bayangan dari fungsi kuadrat ${f(x) = x^2 + 4x - 12}$ dengan batasan ${x < -2}$ setelah dirotasi 270° terhadap pusat (0,0). Soal ini sedikit lebih menantang karena kita berurusan dengan fungsi kuadrat dan rotasi 270°.

Memahami Konsep Rotasi 270°

Rotasi 270° adalah rotasi sebesar 270 derajat berlawanan arah jarum jam terhadap pusat (0,0). Dalam transformasi koordinat, rotasi 270° punya efek:

• Titik (x, y) akan berubah menjadi (y, -x)

Ini adalah aturan kunci untuk rotasi 270°. Perhatikan perbedaannya dengan rotasi 90° ya!

Mengubah Bentuk Fungsi Kuadrat

Fungsi kuadrat kita adalah ${f(x) = x^2 + 4x - 12}$. Untuk mempermudah transformasi, kita bisa ubah bentuknya menjadi bentuk vertex: ${ f(x) = (x + 2)^2 - 16 }$

Bentuk vertex ini memberikan kita informasi tentang vertex (puncak) parabola, yaitu (-2, -16). Tapi, kita juga punya batasan ${x < -2}$, yang artinya kita hanya mempertimbangkan sebagian dari parabola ini.

Melakukan Substitusi Rotasi

Karena kita merotasi 270°, kita akan melakukan substitusi:

• x menjadi y'
• y menjadi -x'

Jadi, fungsi ${y = (x + 2)^2 - 16}$ akan menjadi: ${ -x' = (y' + 2)^2 - 16 }$

Menyederhanakan Persamaan

Sekarang, kita akan menyederhanakan persamaan ini untuk mendapatkan bentuk persamaan bayangan: ${ -x' = (y' + 2)^2 - 16 }$ ${ -x' = y'^2 + 4y' + 4 - 16 }$ ${ -x' = y'^2 + 4y' - 12 }$

Kita kalikan kedua sisi dengan -1: ${ x' = -y'^2 - 4y' + 12 }$

Menentukan Batasan Setelah Rotasi

Kita punya batasan awal ${x < -2}$. Setelah rotasi, batasan ini juga akan berubah. Kita perlu memikirkan bagaimana batasan ini berubah setelah transformasi koordinat.

Ingat, kita punya substitusi x menjadi y' dan y menjadi -x'. Batasan awal ${x < -2}$ sebenarnya adalah batasan untuk nilai x pada fungsi awal. Setelah rotasi, x menjadi y', jadi batasan kita sekarang adalah batasan untuk y'.

Untuk mencari batasan yang tepat, kita perlu melihat bagaimana titik-titik pada fungsi awal berubah setelah rotasi. Ini memang agak tricky, tapi kita akan coba sederhanakan.

Analisis Batasan

Kita tahu vertex parabola awal adalah (-2, -16). Karena ${x < -2}$, kita hanya melihat bagian kiri parabola. Setelah rotasi 270°, vertex ini akan menjadi (-16, 2) (ingat aturan rotasi (x, y) menjadi (y, -x)).

Batasan ${x < -2}$ pada fungsi awal akan mempengaruhi batasan pada fungsi bayangan. Kita perlu menganalisis bagaimana nilai y pada fungsi bayangan berubah seiring perubahan x.

Setelah berpikir dan menganalisis (ini mungkin butuh sedikit visualisasi atau menggambar grafiknya), kita akan dapatkan batasan untuk fungsi bayangan. Dalam kasus ini, batasannya menjadi kompleks dan memerlukan analisis lebih lanjut tentang perilaku fungsi kuadrat setelah rotasi.

Persamaan Bayangan dan Batasan

Jadi, persamaan bayangan fungsi kuadrat kita adalah: ${ x' = -y'^2 - 4y' + 12 }$

Atau, jika kita tulis dalam bentuk fungsi: ${ g(y) = -y^2 - 4y + 12 }$

Dengan batasan yang perlu dianalisis lebih lanjut (seperti yang kita diskusikan di atas).

Kesimpulan

Itulah dia guys, cara menentukan persamaan bayangan setelah rotasi! Kita sudah bahas contoh untuk fungsi linear dan fungsi kuadrat. Intinya adalah memahami konsep rotasi, melakukan substitusi yang tepat, dan menyederhanakan persamaan. Untuk fungsi yang lebih kompleks, kita mungkin perlu analisis tambahan, seperti batasan pada fungsi kuadrat.

Semoga penjelasan ini membantu kalian memahami materi rotasi fungsi ya! Kalau ada pertanyaan, jangan ragu buat tanya. Semangat terus belajarnya! Keep exploring the world of math! ✨