Segitiga ABC: Siku-siku Atau Bukan?

by ADMIN 36 views

Hey guys, pernah kepikiran nggak sih, kalau kita punya tiga titik koordinat, terus kita hubungin jadi segitiga, gimana caranya kita tahu segitiga itu siku-siku atau bukan? Nah, kali ini kita bakal bedah tuntas nih kasus segitiga ABC dengan titik-titik A(-1,3), B(4,-2), dan C(1,-5). Penasaran kan, apakah segitiga ABC ini termasuk segitiga siku-siku? Yuk, kita cari tahu bareng-bareng!

Memahami Konsep Dasar Segitiga Siku-siku

Sebelum kita terjun ke perhitungan, penting banget nih buat kita ngerti dulu apa sih sebenarnya segitiga siku-siku itu. Segitiga siku-siku adalah segitiga yang salah satu sudutnya memiliki besar 90 derajat. Nah, dalam geometri, ada salah satu teorema super terkenal yang jadi kunci buat nentuin apakah sebuah segitiga itu siku-siku atau nggak. Kalian pasti udah sering denger dong, yaitu Teorema Pythagoras! Teorema ini bilang gini: pada segitiga siku-siku, kuadrat dari sisi terpanjang (hipotenusa) sama dengan jumlah kuadrat dari kedua sisi lainnya (sisi siku-sikunya). Kalau kita tulis dalam rumus, jadi a² + b² = c², di mana 'c' adalah sisi terpanjangnya. Jadi, kalau kita bisa ngebuktiin kalau panjang sisi-sisi segitiga kita memenuhi persamaan ini, voila! Segitiga kita adalah segitiga siku-siku. Gampang kan? Kuncinya adalah kita harus bisa ngitung panjang ketiga sisinya dulu.

Selain Teorema Pythagoras, ada juga konsep lain yang bisa kita pakai, yaitu gradien garis. Ingat nggak sih, kalau dua garis tegak lurus, maka hasil perkalian gradiennya adalah -1? Nah, kalau kita bisa ngebuktiin kalau ada dua sisi segitiga yang saling tegak lurus, berarti sudut di antara kedua sisi itu pasti 90 derajat, dan segitiga kita otomatis jadi segitiga siku-siku. Konsep ini seringkali lebih cepat kalau kita udah terbiasa ngitung gradien. Jadi, kita punya dua senjata nih: Teorema Pythagoras dan konsep gradien. Mana yang mau kita pakai? Tergantung kenyamanan kalian aja, guys!

Menghitung Panjang Sisi-sisi Segitiga ABC

Oke deh, guys, sekarang kita masuk ke bagian yang paling seru: ngitung panjang sisi-sisi segitiga ABC kita. Kita punya titik A(-1,3), B(4,-2), dan C(1,-5). Untuk ngitung jarak antara dua titik di koordinat Kartesius, kita pakai rumus jarak, nih. Kalau kita punya titik (x1, y1) dan (x2, y2), rumusnya adalah jarak = √[(x2 - x1)² + (y2 - y1)²]. Yuk, kita aplikasiin ke segitiga kita.

1. Panjang Sisi AB: Kita anggap A(-1,3) sebagai (x1, y1) dan B(4,-2) sebagai (x2, y2). AB = √[(4 - (-1))² + (-2 - 3)²] AB = √[(4 + 1)² + (-5)²] AB = √[5² + (-5)²] AB = √[25 + 25] AB = √50 Jadi, panjang sisi AB adalah √50. Kalau mau disederhanain lagi, bisa jadi 5√2.

2. Panjang Sisi BC: Sekarang kita pakai B(4,-2) sebagai (x1, y1) dan C(1,-5) sebagai (x2, y2). BC = √[(1 - 4)² + (-5 - (-2))²] BC = √[(-3)² + (-5 + 2)²] BC = √[(-3)² + (-3)²] BC = √[9 + 9] BC = √18 Jadi, panjang sisi BC adalah √18. Disederhanain jadi 3√2.

3. Panjang Sisi AC: Terakhir, kita pakai A(-1,3) sebagai (x1, y1) dan C(1,-5) sebagai (x2, y2). AC = √[(1 - (-1))² + (-5 - 3)²] AC = √[(1 + 1)² + (-8)²] AC = √[2² + (-8)²] AC = √[4 + 64] AC = √68 Jadi, panjang sisi AC adalah √68. Kalau mau disederhanain, ini bisa jadi 2√17.

Nah, sekarang kita udah punya panjang ketiga sisinya: AB = √50, BC = √18, dan AC = √68. Sip, langkah pertama beres! Next step, kita pakai senjata kita, Teorema Pythagoras, buat ngecek.

Menggunakan Teorema Pythagoras untuk Verifikasi

Oke guys, kita udah punya panjang sisi AB = √50, BC = √18, dan AC = √68. Sekarang saatnya kita uji pakai Teorema Pythagoras, a² + b² = c². Ingat, 'c' itu harus sisi terpanjang. Dari ketiga sisi kita, yang paling panjang itu adalah AC = √68 (karena 68 > 50 dan 68 > 18). Jadi, AC ini yang bakal jadi 'c' kita.

Sekarang kita kuadratin deh masing-masing panjang sisinya:

  • AB² = (√50)² = 50
  • BC² = (√18)² = 18
  • AC² = (√68)² = 68

Sekarang kita cek, apakah jumlah kuadrat dua sisi yang lebih pendek sama dengan kuadrat sisi terpanjang? Mari kita coba jumlahkan AB² + BC²: AB² + BC² = 50 + 18 = 68

Voila! Kita lihat nih, hasil penjumlahannya sama persis dengan kuadrat sisi terpanjangnya, yaitu AC² = 68. Jadi, 50 + 18 = 68. Ini artinya, persamaan a² + b² = c² terpenuhi! Dengan terpenuhinya Teorema Pythagoras, kita bisa dengan yakin bilang kalau segitiga ABC adalah segitiga siku-siku. Keren, kan? Kita udah berhasil ngebuktiinnya cuma pakai panjang sisi-sisinya aja.

Terus, sudut siku-sikunya ada di mana nih? Karena sisi AB dan BC yang kalau dikuadratin dijumlahin jadi AC², berarti sudut yang berhadapan dengan sisi terpanjang (AC) adalah sudut siku-sikunya. Nah, sudut yang berhadapan dengan sisi AC itu adalah sudut B. Jadi, sudut B di segitiga ABC ini besarnya 90 derajat. Mantap!

Alternatif: Menggunakan Gradien Garis

Biar makin mantap dan buat nambah wawasan kalian, yuk kita coba pakai cara alternatif pakai konsep gradien. Ingat ya, kalau dua garis tegak lurus, hasil kali gradiennya itu -1. Jadi, kita perlu cari gradien dari ketiga sisi segitiga kita.

Rumus gradien (m) kalau kita punya dua titik (x1, y1) dan (x2, y2) adalah: m = (y2 - y1) / (x2 - x1).

1. Gradien Garis AB (m_AB): A(-1,3) dan B(4,-2) m_AB = (-2 - 3) / (4 - (-1)) m_AB = -5 / (4 + 1) m_AB = -5 / 5 m_AB = -1

2. Gradien Garis BC (m_BC): B(4,-2) dan C(1,-5) m_BC = (-5 - (-2)) / (1 - 4) m_BC = (-5 + 2) / (-3) m_BC = -3 / -3 m_BC = 1

3. Gradien Garis AC (m_AC): A(-1,3) dan C(1,-5) m_AC = (-5 - 3) / (1 - (-1)) m_AC = -8 / (1 + 1) m_AC = -8 / 2 m_AC = -4

Sekarang kita cek hasil perkalian gradiennya:

  • m_AB * m_BC = (-1) * (1) = -1

Wih! Kelihatan kan, hasil perkalian gradien garis AB dan garis BC adalah -1. Ini artinya, garis AB dan garis BC adalah dua garis yang saling tegak lurus. Kalau dua sisi segitiga tegak lurus, berarti sudut yang terbentuk di antara keduanya adalah sudut 90 derajat. Nah, sisi AB dan BC ini bertemu di titik B. Jadi, sudut B adalah sudut siku-siku.

Kita juga bisa cek gradien lainnya buat mastiin aja:

  • m_AB * m_AC = (-1) * (-4) = 4 (Bukan -1, jadi AB tidak tegak lurus AC)
  • m_BC * m_AC = (1) * (-4) = -4 (Bukan -1, jadi BC tidak tegak lurus AC)

Hasilnya konsisten, guys! Dengan menggunakan gradien, kita juga bisa menyimpulkan bahwa segitiga ABC adalah segitiga siku-siku dengan sudut siku-siku berada di titik B.

Kesimpulan Akhir: Segitiga ABC adalah Segitiga Siku-siku!

Jadi, guys, setelah kita melakukan perhitungan yang cermat menggunakan dua metode berbeda – yaitu Teorema Pythagoras dan konsep gradien garis – kita sampai pada satu kesimpulan yang sama: Segitiga ABC dengan titik-titik A(-1,3), B(4,-2), dan C(1,-5) adalah sebuah segitiga siku-siku.

Kita membuktikannya dengan Teorema Pythagoras dimana kuadrat dari panjang sisi AB (50) ditambah kuadrat dari panjang sisi BC (18) sama dengan kuadrat dari panjang sisi AC (68). Kita juga mengkonfirmasinya dengan melihat gradien garis AB (-1) dikalikan dengan gradien garis BC (1) menghasilkan -1, yang menandakan kedua garis tersebut tegak lurus di titik B. Dengan demikian, sudut B adalah sudut siku-siku (90 derajat).

Semoga penjelasan ini bikin kalian makin paham ya gimana caranya nentuin sebuah segitiga itu siku-siku atau bukan cuma dari koordinat titik-titiknya. Konsep-konsep ini penting banget buat kalian yang lagi belajar matematika, terutama geometri. Keep practicing, guys! Makin sering latihan, makin jago kalian ngadepin soal-soal kayak gini. Kalau ada pertanyaan atau mau diskusiin contoh lain, jangan ragu komen di bawah ya!